Кинематика точки, кинематика твердого тела, поступательное движение, вращательное движение, плоскопараллельное движение, теорема о проекциях скоростей, мгновенный центр скоростей, определение скорости и ускорений точек плоского тела, сложное движение точки

Содержание

Кинематика твердого тела

Чтобы однозначно определить положение твердого тела, нужно указать три координаты (x A , y A , z A ) одной из точек A тела и три угла поворота. Таким образом, положение твердого тела определяется шестью координатами. То есть твердое тело имеет шесть степеней свободы.

В общем случае, зависимость координат точек твердого тела относительно неподвижной системы координат определяется довольно громоздкими формулами. Однако скорости и ускорения точек определяются довольно просто. Для этого нужно знать зависимость координат от времени одной, произвольным образом выбранной, точки A и вектора угловой скорости . Дифференцируя по времени, находим скорость и ускорение точки A и угловое ускорение тела :
; ; .
Тогда скорость и ускорение точки тела с радиус вектором определяется по формулам:
(1) ;
(2) .
Здесь и далее, произведения векторов в квадратных скобках означают векторные произведения.

Отметим, что вектор угловой скорости одинаков для всех точек тела . Он не зависит от координат точек тела. Также вектор углового ускорения одинаков для всех точек тела .

См. вывод формул (1) и (2) на странице: Скорость и ускорение точек твердого тела > > >

Поступательное движение твердого тела

При поступательном движении, угловая скорость равна нулю. Скорости всех точек тела равны. Любая прямая, проведенная в теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению. Таким образом, для изучения движения твердого тела при поступательном движении, достаточно изучить движение одной любой точки этого тела. См. раздел .

Равноускоренное движение

Рассмотрим случай равноускоренного движения. Пусть проекция ускорения точки тела на ось x постоянна и равна a x . Тогда проекция скорости v x и x - координата этой точки зависят от времени t по закону:
v x = v x0 + a x t ;
,
где v x0 и x 0 - скорость и координата точки в начальный момент времени t = 0 .

Вращательное движение твердого тела

Рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси. Выберем неподвижную систему координат Oxyz с центром в точке O . Направим ось z вдоль оси вращения. Считаем, что z - координаты всех точек тела остаются постоянными. Тогда движение происходит в плоскости xy . Угловая скорость ω и угловое ускорение ε направлены вдоль оси z :
; .
Пусть φ - угол поворота тела, который зависит от времени t . Дифференцируя по времени, находим проекции угловой скорости и углового ускорения на ось z :
;
.

Рассмотрим движение точки M , которая находится на расстоянии r от оси вращения. Траекторией движения является окружность (или дуга окружности) радиуса r .
Скорость точки :
v = ω r .
Вектор скорости направлен по касательной к траектории.
Касательное ускорение :
a τ = ε r .
Касательное ускорение также направлено по касательной к траектории.
Нормальное ускорение :
.
Оно направлено к оси вращения O .
Полное ускорение :
.
Поскольку векторы и перпендикулярны друг другу, то модуль ускорения :
.

Равноускоренное движение

В случае равноускоренного движения, при котором угловое ускорение постоянно и равно ε , угловая скорость ω и угол поворота φ изменяются со временем t по закону:
ω = ω 0 + ε t ;
,
где ω 0 и φ 0 - угловая скорость и угол поворота в начальный момент времени t = 0 .

Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным или плоским называется такое движение твердого тела, при котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости. Выберем прямоугольную систему координат Oxyz . Оси x и y расположим в плоскости, в которой происходит перемещение точек тела. Тогда все z - координаты точек тела остаются постоянными, z - компоненты скоростей и ускорений равны нулю. Векторы угловой скорости и углового ускорения наоборот, направлены вдоль оси z . Их x и y компоненты равны нулю.

Проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.
v A cos α = v B cos β .

Мгновенный центр скоростей

Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.

Чтобы определить положение мгновенного центра скоростей P плоской фигуры, нужно знать только направления скоростей и двух его точек A и B . Для этого через точку A проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Через точку B проводим прямую, перпендикулярную направлению скорости . Точка пересечения этих прямых есть мгновенный центр скоростей P . Угловая скорость вращения тела:
.

Если скорости двух точек параллельны друг другу, то ω = 0 . Скорости всех точек тела равны друг другу (в данный момент времени).

Если известна скорость какой либо точки A плоского тела и его угловая скорость ω , то скорость произвольной точки M определяется по формуле (1) , которую можно представить в виде суммы поступательного и вращательного движения:
,
где - скорость вращательного движения точки M относительно точки A . То есть скорость, которую имела бы точка M при вращении по окружности радиуса |AM| с угловой скоростью ω , если бы точка A была неподвижной.
Модуль относительной скорости:
v MA = ω |AM| .
Вектор направлен по касательной к окружности радиуса |AM| с центром в точке A .

Определение ускорений точек плоского тела выполняется с применением формулы (2) . Ускорение любой точки M равно векторной сумме ускорения некоторой точки A и ускорения точки M при вращении вокруг точки A , считая точку A неподвижной:
.
можно разложить на касательное и нормальное ускорения:
.
Касательное ускорение направлено по касательной к траектории. Нормальное ускорение направлено из точки M к точке A . Здесь ω и ε - угловая скорость и угловое ускорение тела.

Сложное движение точки

Пусть O 1 x 1 y 1 z 1 - неподвижная прямоугольная система координат. Скорость и ускорение точки M в этой системе координат будем называть абсолютной скоростью и абсолютным ускорением .

Пусть Oxyz - подвижная прямоугольная система координат, скажем, жестко связанная с неким твердым телом, движущимся относительно системы O 1 x 1 y 1 z 1 . Скорость и ускорение точки M в системе координат Oxyz будем называть относительной скоростью и относительным ускорением . Пусть - угловая скорость вращения системы Oxyz относительно O 1 x 1 y 1 z 1 .

Рассмотрим точку, совпадающую, в данный момент времени, с точкой M и неподвижной, относительно системы Oxyz (точка, жестко связанная с твердым телом). Скорость и ускорение такой точки в системе координат O 1 x 1 y 1 z 1 будем называть переносной скоростью и переносным ускорением .

Теорема о сложении скоростей

Абсолютная скорость точки равна векторной сумме относительной и переносной скоростей:
.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Абсолютное ускорение точки равно векторной сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений:
,
где
- кориолисово ускорение.

Использованная литература:
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Движение материальной точки по криволинейной траектории всегда является ускоренным, поскольку если даже скорость не изменяется по численному значению, то всегда изменяется по направлению.

В общем случае ускорение при криволинейном движении можно представить в виде векторной суммы касательного (или тангенциального) ускорения t и нормального ускорения n : = t + n - рис. 1.4.

Касательное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по модулю. Значение этого ускорения будет:

Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению. Численное значение этого ускорения, где r - радиус соприкасающейся окружности, т.е. окружности, проведенной через три бесконечно близкие точки B ¢, A, B , лежащих на кривой (рис. 1.5). Вектор n направлен по нормали к траектории к центру кривизны (центру соприкасающейся окружности).

Численное значение полного ускорения

где - угловая скорость.

где -угловое ускорение.

Угловое ускорение численно равно изменению угловой скорости за единицу времени.

В заключение приведём таблицу, в которой устанавливается аналогия между линейными и угловыми кинематическими параметрами движения.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Краткий курс физики

Министерство образования и науки Украины.. одесская национальная морская академия..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Основные единицы СИ
В настоящее время общепринятой является Международная система единиц - СИ. Эта система содержит семь основных единиц: метр, килограмм, секунда, моль, ампер, кельвин, кандела и две дополнительные -

Механика
Механика - наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного пол

Законы Ньютона
Динамика - раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под воздействием приложенных к ним сил. В основе механики лежат законы Ньютона. Первый закон Ньютона

Закон сохранения импульса
Рассмотрим вывод закона сохранения импульса на основе второго и третьего законов Ньютона.

Связь между работой и изменением кинетической энергии
Рис. 3.3 Пусть тело массой т движется вдоль оси х под

Связь между работой и изменением потенциальной энергии
Рис. 3.4 Эту связь мы установим на примере работы силы тяжес

Закон сохранения механической энергии
Рассмотрим замкнутую консервативную систему тел. Это означает, что на тела системы не действуют внешние силы, а внутренние силы по своей природе являются консервативными. Полной механическ

Соударения
Рассмотрим важный случай взаимодействия твёрдых тел - соударения. Соударением (ударом) называется явление конечного изменения скоростей твёрдых тел за весьма малые промежутки времени при их непо

Основной закон динамики вращательного движения
Рис. 4.3 Для вывода этого закона рассмотрим простейший случа

Закон сохранения момента импульса
Рассмотрим изолированное тело, т.е. такое тело на которое не действует внешний момент сил. Тогда Mdt = 0 и из (4.5) следует d(Iw)=0, т.е. Iw=const. Если изолированная система состоит

Гироскоп
Гироскопом называется симметричное твёрдое тело, вращающееся вокруг оси, совпадающей с осью симметрии тела, проходящей через центр масс, и соответствующей наибольшему собственному моменту инерции.

Общая характеристика колебательных процессов. Гармонические колебания
Колебаниями называются движения или процессы, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. В технике устройства, использующие колебательные процессы могут выполнять оп

Колебания пружинного маятника
Рис. 6.1 Укрепим на конце пружины тело массой m, которое мож

Энергия гармонического колебания
Рассмотрим теперь на примере пружинного маятника процессы изменения энергии в гармоническом колебании. Очевидно, что полная энергия пружинного маятника W=Wk+Wp, где кинетическая

Сложение гармонических колебаний одинакового направления
Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одинакового направления, значительно облегчается, если изображать колебания графически, в виде векторов на плоскости. Полученная та

Затухающие колебания
В реальных условиях в системах, совершающих колебания, всегда присутствуют силы сопротивления. В результате система постепенно расходует свою энергию на выполнение работы против сил сопротивления и

Вынужденные колебания
В реальных условиях колеблющаяся система постепенно теряет энергию на преодоление сил трения, поэтому колебания являются затухающими. Чтобы колебания были незатухающими, необходимо каким-то образом

Упругие (механические) волны
Процесс распространения возмущений в веществе или поле, сопровождающийся переносом энергии, называется волной. Упругие волны - процесс распространения в упругой среде механически

Интерференция волн
Интерференцией называется явление наложения волн от двух когерентных источников, в результате которого происходит перераспределение интенсивности волн в пространстве, т.е. возникают интерференци

Стоячие волны
Частным случаем интерференции является образование стоячих волн. Стоячие волны возникают при интерференции двух встречных когерентных волн с одинаковой амплитудой. Такая ситуация может возни

Эффект Допплера в акустике
Звуковыми волнами называют упругие волны с частотами от 16 до 20000 Гц, воспринимаемые органами слуха человека. Звуковые волны в жидких и газообразных средах являются продольными. В твёрды

Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов
Рассмотрим в качестве простейшей физической модели идеальный газ. Идеальным называется такой газ, для которого выполняются следующие условия: 1) размеры молекул настолько малы, ч

Распределение молекул по скоростям
Рис.16.1 Предположим, чтонам удалось измерить скорости всех

Барометрическая формула
Рассмотрим поведение идеального газа в поле силы тяжести. Как известно, по мере подъёма от поверхности Земли давление атмосферы уменьшается. Найдём зависимость давления атмосферы от высоты

Распределение Больцмана
Выразим давление газа на высотах h иh0 через соответствующее число молекул в единице объёмап ип0, считая, что на разных высотахT=const: P =

Первое начало термодинамики и его применение к изопроцессам
Первое начало термодинамики - это обобщение закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов. Его формулировка: количество теплоты, сообщённое системе, расходуется на выполнение работы

Число степеней свободы. Внутренняя энергия идеального газа
Числом степеней свободы называется число независимых координат, которыми описывается движение тела в пространстве. Материальная точка имеет три степени свободы, поскольку при её движении в п

Адиабатный процесс
Адиабатным называется процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. В адиабатном процессеdQ = 0, поэтому первое начало термодинамики применительно к этому процессу прин

Обратимые и необратимые процессы. Круговые процессы (циклы). Принцип действия тепловой машины
Обратимыми называются такие процессы, которые удовлетворяют следующим условиям. 1. После прохождения этих процессов и возвращения термодинамической системы в исходное состояние в

Идеальная тепловая машина Карно
Рис. 25.1 В 1827 г. французский военный инженер С. Карно, ре

Второе начало термодинамики
Первое начало термодинамики, которое является обобщением закона сохранения энергии с учётом тепловых процессов, не указывает на направленность протекания различных процессов в природе. Так, первое

Невозможен процесс, единственным результатом которого была бы передача теплоты от холодного тела к горячему
В холодильной машине теплота передаётся от холодного тела (морозильной камеры) в более нагретую окружающую среду. Казалось бы, что это противоречит второму началу термодинамики. На самом деле проти

Энтропия
Введём теперь новый параметр состояния термодинамической системы - энтропию, которая принципиально отличается от других параметров состояния направленностью своего изменения. Элементарное измене

Дискретность электрического заряда. Закон сохранения электрического заряда
Источником электростатического поля служит электрический заряд - внутренняя характеристика элементарной частицы, определяющая ее способность вступать в электромагнитные взаимодействия.

Энергия электростатического поля
Найдём вначале энергию заряженного плоского конденсатора. Очевидно, что эта энергия численно равна работе, которую нужно совершить, чтобы разрядить конденсатор.

Основные характеристики тока
Электрическим током называется упорядоченное (направленное) движение заряженных частиц. Сила тока численно равна заряду, прошедшему через поперечное сечение проводника за единицу

Закон Ома для однородного участка цепи
Однородным называется участок цепи, не содержащий источника ЭДС. Ом экспериментально установил, что сила тока на однородном участке цепи пропорциональна напряжению и обратно пропорц

Закон Джоуля - Ленца
Джоуль и независимо от него Ленц экспериментально установили, что количество теплоты, выделенной в проводнике с сопротивлением R за время dt, пропорционально квадрату силы тока, сопротивлен

Правила Кирхгофа
Рис. 39.1 Для расчёта сложных цепей постоянного тока применя

Контактная разность потенциалов
Если два разнородных металлических проводника привести в контакт, то электроны получают возможность переходить из одного проводника в другой и обратно. Равновесное состояние такой системы

Эффект Зеебека
Рис. 41.1 В замкнутой цепи из двух разнородных металлов на г

Эффект Пельтье
Второе термоэлектрическое явление - эффект Пельтъе состоит в том, что при пропускании электрического тока через контакт двух разнородных проводников в нём происходит выделение или поглощени

Ускорение точки для всех 3-х способов ускорения движения

Ускорение точки характеризует быстроту изменения модуля и направления скорости точки.

1. Ускорение точки при задании ее движения векторным способом

вектор ускорения точки равен первой производной от скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени. Вектор ускорения направлен в сторону вогнутости кривой

2. Ускорение точки при задании ее движения координатным способом

Модуль и направление вектора ускорения определяются из соотношений:

3. Определение ускорения при задании ее движения естественным способом

Естественные оси и естественный трехгранник

Естественные оси. Кривизна характеризует степень искривленности (изогнутости) кривой. Так, окружность имеет постоянную кривизну, которую измеряют величиной K, обратной радиусу,

Чем больше радиус, тем меньше кривизна, и наоборот. Прямую линию можно рассматривать как окружность с бесконечно большим радиусом и кривизной, равной нулю. Точка представляет окружность радиусом R = 0 и имеет бесконечно большую кривизну.

Произвольная кривая имеет переменную кривизну. В каждой точке такой кривой можно подобрать окружность радиусом, кривизна которой равна кривизне кривой в данной точке М (рис. 9.2). Величина называется радиусом кривизны в данной точке кривой. Ось, направленная по касательной в сторону движения, и ось, направленная по радиусу к центру кривизны и называемая нормалью, образуют естественные оси координат.

Нормальное и касательное ускорение точки

При естественном способе задания движения ускорение точки равно геометрической сумме двух векторов, один из которых направлен по главной нормали и называется нормальным ускорением, а второй направлен по касательной и называется касательным ускорением точки.

Проекция ускорения точки на главную нормаль равна квадрату модуля скорости тоски, деленному на радиус кривизны траектории в соответствующей точке. Нормальное ускорение точки всегда направлено к центру кривизны траектории и равно по модулю этой проекции.

Изменение скорости по модулю характеризуется касательным (тангенциальным) ускорением.

т.е. проекция ускорения точки на касательную равна второй производной от дуговой координаты точки по времени или первой производной от алгебраической величины скорости точки по времени.

Эта проекция имеет знак плюс, если направления касательного ускорения и орта совпадают, и знак минус, если они противоположны.

Таким образом, в случае естественного способа задания движения, когда известны траектория точки а, следовательно, ее радиус кривизны? в любой точке и уравнение движения, можно найти проекции ускорения точки на естественные оси:

Если a > 0 и > 0 или a < 0 и < 0, то движение ускоренное и вектор а направлен в сторону вектора скорости. Если а < 0 и > 0 или а > 0 и < 0, то движение замедленное и вектор а направлен в сторону, противоположную вектору скорости

Частные случаи.

1. Если точка движется прямолинейно и неравномерно, то = , и,следовательно, = 0, a = a.

2. Если точка движется прямолинейно и равномерно, = 0, a = 0 и a = 0.

3. Если точка движется по криволинейной траектории равномерно, то а = 0 и а = . При равномерном криволинейном движении точки закон движения имеет вид s = t. Положительное направление отсчета целесообразно назначать в задачах в зависимости от конкретных условий. В случае, когда 0 = 0, получаем = gt и. Часто в задачах используется (при падении тела с высоты Н без начальной скорости) формула

Вывод: нормальное ускорение существует лишь при криволинейном

32. Классификация движения точки по её ускорению

если в течение некоторого промежутка времени нормальное и касательное ускорения точки равны нулю, то в течение этого промежутка не измениться ни направление, ни модуль скорости, т.е. точка движется прямолинейно равномерно и ее ускорение равно нулю.

если в течение некоторого промежутка времени не равно нулю нормальное ускорение и равно нулю касательное ускорение точки, то происходит изменение направления скорости без изменения ее модуля, т.е. точка движется криволинейно равномерно и модуль ускорения.

Если в отдельный момент времени, то точка не движется равномерно, а в этот момент времени модуль ее скорости имеет максимум, минимум или наименьшую быстроту монотонного изменения.

если в течение некоторого промежутка времени равно нулю нормальное ускорение точки и не равно нулю касательное, то не изменяется направление скорости, а изменяется ее модуль, т.е. точка движется по прямой неравномерно. Модуль ускорения точки в этом случае

При этом если направление векторов скорости и совпадают, то движение точки ускоренное, а если не совпадают, то движение точки замедленное.

Если в некоторый момент времени, то точка не движется прямолинейно, а проходит точку перегиба траектории или модуль ее скорости обращается в нуль.

Если в течение некоторого промежутка времени ни нормальное, ни касательное ускорения не равны нулю, то изменяется как направление, так и модуль ее скорости, т.е. точка совершает криволинейное неравномерное движение. Модуль ускорения точки

при этом если направление векторов скорости и совпадают, то движение ускоренное, а если противоположны, то движение замедленное.

Если модуль касательного ускорения постоянен, т.е. , то модуль скорости точки изменяется пропорционально времени, т.е. точка совершает равнопеременное движение. И тогда

Формула скорости равнопеременного движения точки;

Уравнение равнопеременного движения точки

.Тангенциальное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение скорости тела по абсолютному значению, численно равная первой производной от модуля скорости по времени и направленная по касательной к траектории в ту же сторону, что и скорость, если скорость возрастает, и противоположно скорости, если она убывает.

4

Нормальное ускорение

.Нормальное ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение направления скорости, численно равная отношению квадрата скорости к радиусу кривизны траектории, направленная вдоль радиуса кривизны к центру кривизны:

.

Т

ак как векторыинаправлены под прямым углом, то (рис. 1. 17)

, (1.2.9)

5.Угловое ускорение – векторная физическая величина, характеризующая изменение угловой скорости, численно равная первой производной угловой скорости по времени и направленная вдоль оси вращения в ту же сторону, что и угловая скорость, если скорость возрастает, и противоположно ей, если она убывает.

Формулу вставить (1.2.10)

СИ:

Полное ускорение

(линейное)

Поскольку мы ограничиваемся рассмотрением вращения вокруг неподвижной оси, угловое ускорение не делится на составляющие подобно линейному.

Угловое ускорение

Связь между угловыми характеристиками

вращающегося тела и линейными

характеристиками движения его отдельных точек

Р

СИ:

ассмотрим одну из точек вращающегося тела, которая находится от оси вращения на расстоянииR, то есть движется по окружности радиуса R (рис. 1.18).

По истечении времени
точка А переместится в положение А 1 , пройдя расстояние
, радиус-вектор повернется на угол
. Центральный угол, опирающийся на дугу
, в радианной мере равен отношению длины дуги к радиусу кривизны этой дуги:

.

Это остается справедливым и для бесконечно малого интервала времени
:
. Далее, используя определения, легко получить:

; (1.2.11)

Связь между линейными и угловыми характеристиками

; (1.2.12)

. (1.2.13)

1.1.2. Классификация движений. Кинематические законы

Кинематическими законами будем называть законы, выражающие изменение кинематических характеристик движения с течением времени:

Закон пути
или
;

Закон скорости
или
;

Закон ускорения
или
.

Н

Ускорение

Ускорение гоночного автомобиля на старте 4-5 м/с 2

Ускорение реактивного самолета при посадке

6-8 м/ c 2

Ускорение свободного падения вблизи поверхности Солнца 274 м/ c 2

Ускорение снаряда в стволе орудия 10 5 м/ c 2

аиболее информативной характеристикой движения является ускорение, поэтому оно используется в качестве основания для классификации движений.

Нормальное ускорение несет информацию об изменении направления скорости, то есть об особенностях траектории движения:

- движение прямолинейное (направление скорости не меняется);

- движение криволинейное.

Тангенциальное ускорение определяет характер изменения модуля скорости с течением времени. По этому признаку принято выделять следующие виды движения:

- равномерное движение (абсолютное значение скорости не меняется);

- ускоренное движение

- неравномер- (скорость возрастает)

ное движе-
-замедленное движе

ние ние (скорость убывает).

Наиболее простыми частными случаями неравномерного движения являются движения, при которых

- тангенциальное ускорение не зависит от времени, остается постоянным во время движения – равнопеременное движение (равноускоренное или равнозамедленное);

или
- тангенциальное ускорение меняется с течением времени по закону синуса или косинуса – гармоническое колебательное движение (например, грузик на пружине).

Аналогично для вращательного движения:

- равномерное вращение;

- неравномерное вращение

Типы движения записать более компактно

-равноускоренное

вращение

- замедлен-

ное вращение;

- равнопе-

ременное вращение

Крутильные колебания (например, трифилярный подвес – диск, подвешенный на трех упругих нитях, и совершающий колебания в горизонтальной плоскости).

Если известен один из кинематических законов в аналитической форме, то можно найти другие, при этом возможны два типа задач:

I тип – по заданному закону пути
или
найти закон скорости
или
и закон ускорения
или
;

II тип – по заданному закону ускорения
или
найти закон скорости
или
и закон пути
или
.

Эти задачи являются взаимно обратными и решаются на основе применения обратных математических операций. Первый тип задач решается на основе определений, то есть путем применения операции дифференцирования.

- задано

- ?

- ?
.

Второй тип задач решается путем интегрирования. Если скорость есть первая производная от пути по времени, то путь по отношению к скорости можно найти как первообразную. Аналогично: ускорение есть производная от скорости по времени, тогда скорость по отношению к ускорению – первообразная. Математически эти действия выглядят так:

- приращение пути за бесконечно малый промежуток времени
. Для конечного интервала отдоинтегрируем:
. По правилам интегрирования
. Чтобы взять интеграл в правой части, нужно знать вид закона скорости, то есть
. Окончательно, для нахождения положения тела на траектории в произвольный момент времени получаем:

, где (1.2.14)

- изменение скорости за бесконечно малый промежуток времени
.

Для конечного интервала от до:

Перемеще́ние (в кинематике) - изменение местоположения физического тела в пространстве относительно выбранной системы отсчёта. Также перемещениемназывают вектор, характеризующий это изменение. Обладает свойством аддитивности.

Ско́рость (часто обозначается , от англ. velocity или фр. vitesse) - векторная физическая величина, характеризующая быстротуперемещения и направления движения материальной точки в пространстве относительно выбранной системы отсчёта (например, угловая скорость).

Ускоре́ние (обычно обозначается , в теоретической механике ) - производная скорости по времени, векторная величина, показывающая, насколько изменяется вектор скорости точки (тела) при её движении за единицу времени (т.е. ускорение учитывает не только изменение величины скорости, но и её направления).

Тангенциальное (касательное) ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль касательной к траектории в данной точке траектории движения. Тангенциальное ускорение характеризует изменение скорости по модулю при криволинейном движении.

Рис. 1.10. Тангенциальное ускорение.

Направление вектора тангенциального ускорения τ (см. рис. 1.10) совпадает с направлением линейной скорости или противоположно ему. То есть вектор тангенциального ускорения лежит на одной оси с касательной окружности, которая является траекторией движения тела.

Нормальное ускорение

Нормальное ускорение – это составляющая вектора ускорения, направленная вдоль нормали к траектории движения в данной точке на траектории движения тела. То есть вектор нормального ускорения перпендикулярен линейной скорости движения (см. рис. 1.10). Нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению и обозначается буквой n . Вектор нормального ускорения направлен по радиусу кривизны траектории.

Полное ускорение

Полное ускорение при криволинейном движении складывается из тангенциального и нормального ускорений по правилу сложения векторов и определяется формулой:

(согласно теореме Пифагора для прямоугольно прямоугольника).

Направление полного ускорения также определяется правилом сложения векторов:

Сила. Масса. Законы Ньютона.

Си́ла - векторная физическая величина, являющаяся мерой интенсивности воздействия на данное тело других тел, а также полей. Приложенная к массивному телу сила является причиной изменения его скорости или возникновения в нём деформаций.

Ма́сса (от греч. μάζα) - скалярная физическая величина, одна из важнейших величин в физике. Первоначально (XVII-XIX века) она характеризовала «количество вещества» в физическом объекте, от которого, по представлениям того времени, зависели как способность объекта сопротивляться приложенной силе (инертность), так и гравитационные свойства - вес. Тесно связана с понятиями «энергия» и «импульс» (по современным представлениям - масса эквивалентна энергии покоя).

Первый закон Ньютона

Существуют такие системы отсчёта, называемые инерциальными, относительно которых материальная точка при отсутствии внешних воздействий сохраняет величину и направление своей скорости неограниченно долго.

Второй закон Ньютона

В инерциальной системе отсчёта ускорение, которое получает материальная точка, прямо пропорционально равнодействующей всех приложенных к ней сил и обратно пропорционально её массе.

Третий закон Ньютона

Материальные точки попарно действуют друг на друга с силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

Импульс. Закон сохранения импульса. Упругие и неупругие удары.

И́мпульс (Количество движения) - векторная физическая величина, характеризующая меру механического движения тела. В классической механике импульс тела равен произведению массы m этого тела на его скорость v, направление импульса совпадает с направлением вектора скорости:

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел (или частиц) замкнутой системы есть величина постоянная.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, - однородность пространства.

Абсолютно неупругим ударом называют такое ударное взаимодействие, при котором тела соединяются (слипаются) друг с другом и движутся дальше как одно тело.

При абсолютно неупругом ударе механическая энергия не сохраняется. Она частично или полностью переходит во внутреннюю энергию тел (нагревание).

Абсолютно упругим ударом называется столкновение, при котором сохраняется механическая энергия системы тел.

Во многих случаях столкновения атомов, молекул и элементарных частиц подчиняются законам абсолютно упругого удара.

При абсолютно упругом ударе наряду с законом сохранения импульса выполняется закон сохранения механической энергии.

4. Виды механической энергии. Работа. Мощность. Закон сохранения энергии.

В механике различают два вида энергии: кинетическую и потенциальную.

Кинетической энергией называют механическую энергию всякого свободно движущегося тела и измеряют ее той работой, которую могло бы совершить тело при его торможении до полной остановки.

Итак, кинетическая энергия поступательно движущегося тела равна половине произведения массы этого тела на квадрат его скорости:

Потенциальная энергия – это механическая энергия системы тел, определяемая их взаимным расположением и характером сил взаимодействия между ними. Численно потенциальная энергия системы в данном ее положении равна работе, которую произведут действующие на систему силы при перемещении системы из этого положения в то, где потенциальная энергия условно принимается равной нулю (E n = 0). Понятие «потенциальная энергия» имеет место только для консервативных систем, т.е. систем, у которых работа действующих сил зависит только от начального и конечного положения системы.

Так, для груза весом P, поднятого на высоту h, потенциальная энергия будет равна E n = Ph (E n = 0 при h = 0); для груза, прикрепленного к пружине, E n = kΔl 2 / 2, где Δl - удлинение (сжатие) пружины, k – ее коэффициент жесткости (E n = 0 при l = 0); для двух частиц с массами m 1 и m 2 , притягивающимися по закону всемирного тяготения, , где γ – гравитационная постоянная, r – расстояние между частицами (E n = 0 при r → ∞).

Термин "работа" в механике имеет два смысла: работа как процесс, при котором сила перемещает тело, действуя под углом, отличном от 90°; работа - физическая величина, равная произведению силы, перемещения и косинуса угла между направлением действия силы и перемещением:

Работа равна нулю, когда тело движется по инерции (F = 0), когда нет перемещения (s = 0) или когда угол между перемещением и силой равен 90° (cos а = 0). Единицей работы в СИ служит джоуль (Дж).

1 джоуль - это такая работа, которая совершается силой 1 Н при перемещении тела на 1 м по линии действия силы. Для определения быстроты совершения работы вводят величину "мощность".

Мо́щность - физическая величина, равная отношению работы, выполняемой за некоторый промежуток времени, к этому промежутку времени.

Различают среднюю мощность за промежуток времени :

и мгновенную мощность в данный момент времени:

Так как работа является мерой изменения энергии, мощность можно определить также как скорость изменения энергии системы.

В системе СИ единицей измерения мощности является ватт, равный одному джоулю, делённому на секунду.

Зако́н сохране́ния эне́ргии - фундаментальный закон природы, установленный эмпирически и заключающийся в том, что для изолированной физической системыможет быть введена скалярная физическая величина, являющаяся функцией параметров системы и называемая энергией, которая сохраняется с течением времени. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то его можно именовать не законом, а принципом сохранения энергии.